I'm trying to practice my Irish with some basic writing excersises. I just need someone to tell me if I did it right.
Go raibh maith agaibh!

"Scríobhaim le mo lamh ceart, ach nuair bhí mé óg scríobh mé le mo lamh clé. I scoil príomha, d'inis mo mhuinteoir mé go ní raibh sé inghlachta le mo lamh clé a scríobh. Anois, tá mé ábalta le mo chlé agus mo cheart a scríobh. Tá mo cheart níos fearr ag scríobh, ach tá mo chlé ábalta a scríobh freisin."

Go raibh maith agaibh, arís!

"ceart" means right as in correct, not right as in the opposite to left. You want "deas" for that kind of right.

Scríobhaim le mo lámh dheas, ach nuair a bhí mé óg scríobhainn le mo lámh chlé. Ar bhunscoil, dúirt mo mhúinteoir liom nach nglactí leis scríobh le mo lámh chlé. Anois, táim ábalta scríobh leis an dá lámh. Scríobhaim níos fearr le mo lámh dheas, ach táim ábalta scríobh le mo lámh chlé freisin.

Why use "scríobhainn" in the first sentence, I need to say "I wrote".

and why "an dá lámh"

why "scríobhainn" in the first sentence?

There's a thing called the "habitual past tense". In English, you'll see it as:

I used to fish before I broke my hand.
When I was a lad I would go down to the bakery every morning.

In Irish, it takes the following form:
Scríobh mé => Scríobhainn
Scríobh tú => Scríobhtá
Scríobh sé => Scríobhadh sé

Type any verb into An Foclóir Beag and it will give you all the different forms.

"an dá lámh" simply means "the two hands"; it's just a less verbose way of saying "the right hand and the left hand".